sábado, 28 de febrero de 2009

PROBLEMAS DE LA OLIMPIADA: 4ª SEMANA

Pues sí, ya tenemos los problemas de la Olimpiada Matemática en su 4ª semana, cómo pasa el tiempo...

NIVEL 12-14 AÑOS:

EL TERRENO DE MARÍA
María es propietaria de un terrenito con la forma que se ve en la figura. Este terreno posee la propiedad de que si medimos su perímetro en km y su área en km², las dos medidas están representadas por el mismo número. ¿Cuál es el perímetro del terrenito?




NIVEL 14-16 AÑOS:


LA POBLACIÓN DE ALBACETE
El número de habitantes de Albacete en 2007 era inferior a 180.000 habitantes. Además, si sabemos que este número es par y producto de cuatro números primos, siendo uno de ellos 257, y la suma de los seis dígitos que componen dicho número es 30.
¿Podrías decir exactamente cuántos habitantes tenía Albacete?

27 comentarios:

enrique2ºb dijo...

el terreno de maria tiene 25 cuadraditos si los pones en un cuadrado de 5por 5 y cada lado mide o.25 tiene un perimetro de 1 y su area es 1 por 1 que es 1 por lo que coincide
enrique 2ºB

Ignacio dijo...

Hola
este problema me lo han dado hoy en mi instituto, lo pondré la semana que viene, para que nadie se pueda copiar xD
Pero voy a poner una pequeña pista:

Pone, que el número es par y producto de 4 números primos...

Cualquiera puede comprobar que un número impar multiplicado por otro impar, da un número impar...
Ej.: 3•5=15

Y nos piden un número impar, como todos saben, todos los números primos son impares excepto el 2, entonces para que el número sea par, un número tiene que ser el 2!!!!!!!

Ya tienen una buena pista...

257•2•___•___<180.000

salu2
Ignaciomolin

miguel angel perez diaz dijo...

jajaja, no se te escapa nada, yo lo publico para quien quiera saber. Los de la siguiente fase de la Olimpiada no los sé y los pondré una vez celebrada. No te deseo suerte en la olimpiada porque no te hace falta. Luego pongo otro problemilla para que entrenes. ciao

Ignacio dijo...

ok
Muchas gracias
este finde, que tendré mas tiempo, intentaré hacer el de la feria, porque he visto que es muy parecido al de los gansos
y ese problema me ayudará mucho, ya que me costó mucho resolver el de los gansos xD

salu2
Ignaciomolin

Ignacio dijo...

Hola
ya he resuelto el de la población de Albacete...
Doy una 2ª pista, antes ya dije que un número primo era el 2, y el 257 que ya lo teniamos...
Pues, digo que los otros 2 números primos son menores de 50!!!!!!!

Suerte!
Miguel, dime cuando terminan ellos este problema, y pongo mi solución aquí...
Por cierto, pásate por mi blog... mira la solución y el nuevo problema

salu2
Ignaciomolin

Ignacio dijo...

Hola
Pues me equivoqué en este problema x, aunque he sacado un nuevo problema matemático...jeje
Miren:
en el problema, pone que al sumar los dígitos del número que tenemos que sacar, nos da 30, pues yo en vez de hacer eso, hice la suma de los dígitos de los números primos:
Mi resultado fue esto (está mal):
Los números primos: 2, 7, 43, 257
2•7•43•257= 154714
2+7+4+3+2+5+7=30

Osea que está mal xD...
Pero es curioso que he sacado otro problema sin querer jeje

salu2
Ignaciomolin

Ignacio dijo...

Una pregunta Miguel, a mi me salen tres resultados...:
Las poblaciones de Albacete, serían:
•168078= 109•2•3•257 su suma (digitos) son 30
•158826= 103•2•3•257 su suma (digitos) son 30
•149574= 97•2•3•257 su suma (digitos) son 30

Me salen tres posibles soluciones, como puede ser esto??????
Si quieres, para no poner la solución en tu blog, no pongas este mensaje, si kieres mándame en que me he equivocado, a mi correo o ponlo en esta entrada...
ignaciomolin@yahoo.es
salu2
Ignaciomolin

miguel angel perez diaz dijo...

Querido Ignacio, tus soluciones son correctas, las he revisado y he comprobado que todos son primos. Ëstá claro que 2 y 3 son factores que cumplen las condiciones de los problemas. Y el siguiente factor tenía que ser menor que 116. Tenían que haber puesto otra condición para que saliera sólo una solución. Lo has hecho correctamente. A lo mejor has encontrado más soluciones que quien planteó el problema. Jajajaja. Saludos, no le des más vueltas, son misterios de los números. Cualquier solución es válida.

Ignacio dijo...

jaja, ya se lo digo mañana a mi profesora, tu tienes las soluciones, no?
O por lo menos mis profesores las tienen...
A ti que te sale?
Muchas gracias
salu2
Ignaciomolin

miguel angel perez diaz dijo...

Pues no, querido Ignacio, ningún profesor debiera tener las soluciones. Y ya te dije que todas las soluciones son válidas. Sí es cierto que el periódico la Tribuna publicará las soluciones semana a semana una vez entregadas las seis pruebas clasificatorias. No te preocupes que tus soluciones son buenas. Nos vemos en tu blog.

Anónimo dijo...

No participo en la olimpiada y tengo mas bien algo de edad pero me han comentado el problema y me ha gustado así que aqui os dejo mis razonamientos.
Independientemente de las pistas dadas y de las soluciones que son correctas lo interesante es aplicar criterios de divisibilidad por ejemplo sabemos que es 2 uno de los números porque el enunciado nos dice que el numero de habitantes es par y como el producto son cuatro números primos por fuerza uno de ellos es el 2, pues no puede ser ninguno de sus multiplos. Por otra parte también lo es el 3 pues la suma de los dígitos es 3 o múltiplo de este. Ya tenemos el 257 el 2 y el 3 Ahora multiplicando todos ellos nos da 1542, sabemos que el numero tiene seis cifras y tiene que ser menor de 180000, si dividimos 100000 entre 1542 y 180000 entre 1542 tenemos que el numero primo que buscamos está entre 65 y 116. Con lo cual hay que ir probando los números primos entre esas dos cantidades y que cumpla el criterio de sumar 30 ¿o existe otra forma de encontrar el número matemáticamente?

Ignacio dijo...

Hola
creo que te has enterado mal...
No lo publican cuando ya se hayan entregado todos los problemas, sino que ya lo están haciendo...
Creo que ya van por el 4º problema...
A lunes que viene sacan la solucion del del 5º problema...
salu2
Ignaciomolin

miguel angel perez diaz dijo...

Hola Ignacio, ya veo que están publicando las soluciones. No me parece bien, antes de la selección, pero bueno, ahora cualquiera puede decir que los sabe hacer. Ya caerán en la siguiente fase. Respecto al problema de las salsas, no sé si sabes lo que son números combinatorios... o diagramas en árbol para contar el número de posibilidades lógicas de que ocurra un suceso. Dime qué has visto en clase y te lo explico de esa manera...

miguel angel perez diaz dijo...

Querido anónimo, el problema no dice que el número de habitantes sea superior a 100000 habitantes, sin embargo tu razonamiento es correcto aunque podría haber un número inferior a 100000 de forma que cumpla con los requisitos.Por ejemplo: 2·3·257·19 = 29298 y si sumas sus cifras da 2+9+2+9+8 = 30. Luego 29298 también sería correcto. Gracias por visitar el blog.

Anónimo dijo...

Estimado Miguel el problema si dice que el número de habitantes es superior a 100000 puesto que el enunciado dice que tiene seis dígitos y que su suma es igual a 30, si conoces un numero natural, entero, inferior a 100000 con seis dígitos me lo dices.

Ignacio dijo...

Hola
Miguel, anónimo, tiene razon... lo ha exo igual que yo...
si dice que el nº tiene que ser mayor que 100000:
La suma de los seis dígitos que componen dicho número es 30.
El número tiene 6 cifras, por eso el minimo es 100000
Bueno, pues la solucion ya está, parece que se haya copiado de mi...xD
lo ha exo igualito que yo...

salu2
Ignaciomolin

"LA POBLACIÓN DE ALBACETE"

Ignacio dijo...

Hola
no he dado nunca ningún tema de combinaciones ni nada de eso...
Espero que me lo puedas explicar... gracias

Respecto a lo de las soluciones, las ponen justo la semana después de cuando hay que dar el problema a los prosfesores...
Aunque en la clase de mi hermano, llevan una semana de retraso y los entregan justo el dia en el que sale...

salu2
Ignaciomolin

Ignacio dijo...

Hola
Bueno, ya que el anónimo ya ha puesto casi toda la solucion, yo pongo la mia:

LA POBLACIÓN DE ALBACETE

Necesitamos 4 números primos, el producto de los cuales, debe de ser un número par.
Todo número impar multiplicado por otro impar, nos da impar.
Y como necesitamos que nos salga un número par de resultado, uno de los números primos debe de ser par, y el único número primo par es el 2.

Ahora, para sacar el siguiente número primo, nos guiamos por los criterios de divisibilidad:
"La suma de los seis dígitos que componen dicho número es 30"
Y el criterio de divisibilidad del 3 es:
"La suma de sus cifras es múltiplo de 3"
Y el 30 es múltiplo de 3 -> (3•10=30)

Ya tenemos tres números primos:
2, 3 y 257

2•3•257=1542

•180000 es el número máximo (lo pone en el enunciado)

•100000 es el número mínimo (ya que 99.999 ya tendría 5 cifras, y en el problema, pone que el número tiene 6 cifras)


180000/1542= 117
100000/1542=65
El siguiente número tiene que estar entre el 117 y el 65.

1542•113= 174246-> 1+7+4+2+4+6= 24
1542•109= 168078-> 1+6+8+7+8= 30 !!!!!!!!!!!!
1542•107= 164994-> 1+6+4+9+9+4= 33
1542•103= 158826-> 1+5+8+8+2+6= 30 !!!!!!!!!!
1542•101= 155742-> 1+5+5+7+4+2= 24
1542•97= 149574 -> 1+4+9+5+7+4= 30!!!!!!!!!!!
1542•89= 137238 -> 1+3+7+2+3+8= 24
1542•83= 127986 -> 1+2+7+9+8+6= 33
1542•79= 121818 -> 1+2+1+8+1+8= 21
1542•73= 112566 -> 1+1+2+5+6+6= 21
1542•71= 109482 -> 1+9+4+8+2= 24
1542•67= 103314 -> 1+3+3+1+4= 12

La población de Albacete puede ser:

•168078 habitantes
•158826 habitantes
•149574 habitantes

Bueno, problema solucionado, hasta otra...
salu2
Ignaciomolin

miguel angel perez diaz dijo...

Queridos visitantes del blog, rectificar es de sabios y teneis toda la razón, el problema dice "la suma de los 6 dígitos" con lo cual es un número entre 100000 y 180000. Perdón por mi estupidez, leí tan deprisa el problema que no vi esta frase. Querido Ignacio, tus respuestas cumplen con los enunciados, las tres soluciones son válidas. Venga, a ganar la final, te la mereces. Por cierto, no has puesto nada sobre el último problema de los planetas. Ah, ya me acuerdo, se hace también con combinatoria o con diagramas en árbol, jajajajajaja. Te explico el problema de las salsas en otro comentario, que éste ya es demasiado largo...

Ignacio dijo...

Hola
el de los planetas creo que se como es...
te pongo aqui mi respuesta,(la que creo que es):

La probabilidad de que acierte todos es de:
100/40320= 0,00248015873% de que acierte.

La probabilidad de que acierte el planeta Tierra es:
100/8= 12.5% de que acierte el planeta Tierra

Creo que es así...
Espero tu respuesta

salu2
Ignaciomolin

miguel angel perez diaz dijo...

diagramas en árbol: esquemas hechos con elementos de un conjunto que nos permite enumerar las distintas maneras de que se sucedan en orden o no los elementos de un conjunto hasta un tamaño determinado. Si importa el orden (por ejemplo resultados de las quinielas) se sigue de una manera, y si no importa el orden (por ejemplo las mezclas de salsas, colores, etc...) se sigue de otra manera. También importa si los elementos se pueden repetir una vez que han aparecido o no se pueden repetir. Para hallar el número de formas nos basamos en el principio de multiplicidad, es decir, miramos los cardinales de los conjuntos de elementos que van quedando y multiplicamos.

Ejemplo: tenemos tres elementos a,b,c de cuantas maneras se pueden colocar importando el orden y sin repetir
Para la primera posición hay 3 maneras, para la segunda hay 2 maneras (pues el primer elemento ya ha sido colocado) para la 3 posición sólo hay una (el elemento que quedara sin colocar) por tanto en total hay 3·2·1 =6
En diagramas en arbol sería:

a---- b -----c ---> abc
---- c -----b ---> acb
b---- a -----c ---> bac
---- c -----a ---> bca
c---- a -----b ---> cab
---- b -----a ---> cba

A esto se le llama permutaciones de n elementos y es igual a n! siendo n el número de elementos del conjunto.

permutaciones con repetición: los elementos se pueden repetir.
diagramas en árbol para el mismo caso anterior
a -- a-- a --> aaa
-- a --b --> aab
-- a---c --> aac
--- b --a --> aba
-- b --b --> abb
-- b --c --> abc
-- c --a --> aca
-- c --b --> acb
-- c --c --> acc
b -- a --a --> baa, etc...
Fíjate que sigo un orden siempre para no equivocarme. Veamos el número total sin tener que escribirlas todas las posibilidades.
Para la 1ª posición: 3 posibilidades
para la 2ª posición: 3 posibilidades
para la 3ª posición: 3 posibilidades.
multiplicamos 3·3·3 = 27.
a esto se le llama variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k
Variac. con repetic (n,k) = n^k
Las quinielas son variaciones de 3 elementos (1,X,2) tomados de 15 en 15. Luego habría 3^15 posibilidades distintas.
en otra entrada te explico las combinaciones sin repetición...

miguel angel perez diaz dijo...

el problema de los planetas se hace con permutaciones... así que ya sabes por dónde practicar.

Ignacio dijo...

Eso mas o menos me lo se...
yo lo hago con una tabla:

1 -> 1combinacion
2 -> 2 combinaciones
3 -> 6 combinaciones (combinaciones anteriores por el número de ahora, 3•2)
4 -> 24 comb.
5 -> 120 comb.
6 -> 720 comb.
7 -> 5040 comb.
8 -> 40320 comb. (este es el caso del de los planetas...)

No es así??????

salu2
Ignaciomolin

Ignacio dijo...

lo de las permutaciones, ya lo habia pensado...
pero no sabia que se llamaba asi xD
y nuca lo he dado...
Pero con logica lo saqué...

Ignacio dijo...

Y todo eso, se representa por el simbolo "!", para el de los planetas es: "8!"= 40320

salu2

miguel angel perez diaz dijo...

qué listo y qué rápido eres, casi no me da tiempo a buscar enlaces por internet. Escribir matemáticas es muy lento y pesado. Pues el problema de las salsas son combinaciones, no permutaciones, tomadas de 1 en 1, de 2 en 2, de 3 en 3, etc...
Son combinaciones porque no importa el orden en que mezcles los ingredientes. Y son sin repetición porque salado-salado-salado- etc... siempre da salado. Y el problema no dice nada de cuán salada sea la salsa a fabricar....
A ver, sorpréndeme dentro de media hora... que me voy a hacer un asuntillo...

Ignacio dijo...

Lo siento, pero ya lo hago mañana... que tengo examen de Eval. mañana, y ademas de mates... xD

salu2 y gracias por tus consejos

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