EL NÚMERO DE ORO Y DE OTROS METALES

Ya conoceis de entradas anteriores que fi = número de oro = 1,618033..., es el cociente de las dimensiones de rectángulos armoniosos o perfectos. Pero existen otros números también llamados metálicos que guardan sorprendentes propiedades y que también tienen aplicaciones en el arte. Estos números son: número de plata, número de platino, número de bronce, número de cobre, número de níquel, etc... incluso uno más moderno llamado número de plástico.

¿Qué características tienen en común estos números metálicos?

1. Son números irracionales con infinitos decimales no periódicos
2. Son límites de sucesiones tipo Fibonacci
3. Se pueden descomponer en fracciones continuas
4. Son soluciones de ecuaciones de segundo grado (salvo el número de plástico, que lo es de una ecuación de grado 3, por eso no se le considera metálico)
5. Están presentes en la Naturaleza y/o arte, arquitectura, etc...
   
   EL NÚMERO DE ORO

Viene de resolver la ecuación x^2-x-1=0, cuya solución positiva es x = (1+√5)/2 = 1,6180... Se puede obtener también del cociente entre un término muy grande y el término anterior de una sucesión {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,etc...} donde el término siguiente es la suma de los dos anteriores, es decir, a(n+1) = an + a(n-1) con a1 = a2 =1 . Cuanto más avancemos en la sucesión el cociente se aproxima más al número de oro. Ejemplo: 89 /55 = 1,6181818... que tiene cifras iguales hasta las milésimas.
Su expresión en forma de fracción continua (no os asusteis) es la siguiente:







EL NÚMERO DE PLATA
Viene de la ecuación x^2-2x-1=0, cuya solución positiva es 1+√2 y su expresión en fracción continua es la siguiente:


Su sucesión de Fibonacci es la siguiente: a(n+1) = 2an + a(n-1) partiendo de a1 = a2 =1. Entonces la sucesión de números es {1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, 239,...) y hallando el cociente entre los últimos términos 239/99 = 2,414141414..., que está bastante próximo al valor real.
En la antigua ciudad de Ostia (Roma), arquitectos del siglo II d.C. diseñaron un conjunto de edificios a partir de un cuadrado-patrón: el llamado “cuadrado del corte sagrado” en el que se oculta el número de plata: θ= 1 + √2 = 1 + 1,4142.... = 2,4142......Al igual que el número de oro aparece en el pentágono regular, el número de plata lo hace en el octógono regular como la razón entre el lado y la diagonal. Nos lo encontramos, también, en objetos cotidianos rectangulares y principalmente en rectángulos que encierran logotipos y anuncios en la prensa escrita. La relación entre los lados de estos rectángulos es la del número de plata:1 y 1+√2 . Por eso se les llama Rectángulos de Plata.


EL NÚMERO DE PLATINO

De la misma forma que hemos presentado el número de plata, también podemos hacer lo mismo con el número de platino. De hecho, el número de platino δPt= 1 + √3 = 1 + 1,7320508... = 2,7320598.... Proviene de la solución positiva de la ecuación x^2-2x-2=0.
Su sucesión de Fibonacci asociada es a(n+1) = 2an + 2a(n-1)
Sus términos son todos pares menos los iniciales: {1, 1, 4, 10, 28, 76, 104, 360, 928, 2576, 7008, 19168...}. Si cogemos estos dos últimos términos 19168/7008 = 2,735.....
Esta proporción ha sido muy utilizada en la arquitectura italiana del Renacimiento.
Otro día hablaremos del número de bronce y el número de cobre