soluciones continuación

Fase 14-16. Problema 3

las cifras del 2009 lo construyen mediante un producto y una suma, porque 2009 = 200·9 + 200 +9. Parece una peculiaridad de 2009 pero lo cumplen todos los números terminados en 9 sin importar el número de cifras. Por ejemplo: 189 = 18·9 + 18+9. ¿Podrías demostrarlo para los números de cuatro cifras?

Solución: tenemos el número acabado en 9 de cuatro cifras abc9, se puede descomponer como abc0 +9 = abc·10 + 9 = abc·(9+1) +9 = abc·9 + abc + 9, descomponiendo 10 en dos sumas y aplicando la propiedad distributiva.

Problema 1

Suponiendo un hexágono regular, calcula la razón entre el área sombreada y el área del hexágono ¿podrías calcular la razón entre el área sombreada y el área del círculo?

Solución:
Area del hexágono de lado a = 6a·apotema/2 = 3a·apotema= 3√3 · a² /2
La apotema aplicando teorema de Pitágoras es √3 · a /2

El cuadrilátero inscrito en la circunferencia de radio a (ya que en hexágono regular coinciden lado del hexágono con radio de la circunferencia), se puede descomponer como 2 triángulos cuya base es el radio a y altura apotema del hexágono, luego su área es 2a· apotema /2 = a· apotema
La razón entre área del cuadrilátero y el área del hexágono es a·apotema / 3a·apotema = 1/3 = 0'33333....

La razón entre el área del cuadrilátero y el área del círculo es

√3/2 · a² / π·a² = √3 / 2π = 0'2756....

Problema 2

¿Cómo colocar 12 lámparas en cuatro paredes de forma que al contar las lámparas en cada pared salga un mismo número de lámparas? Se puede colocar 1 lámpara máximo en las esquinas, pero a la hora de contar lámparas por pared, estas lámparas pertenecen a ambas paredes. Hacer lo mismo con 10 lámparas, 11 lámparas, 13 lámparas, para n lámparas y cuántas se colocarían en cada pared.

Solución: Una primera solución para las 12 lámparas sería colocar 3 en cada pared y ninguna en las esquinas, así tendríamos 3 lámparas por pared. Si movemos una lámpara de cada pared a la esquina que tiene a su izquierda o derecha tendríamos otra solución 1-2-1-2-1-2-1-2, sólo que ahora contaríamos 4 lámparas por pared.

Para un número de lámparas múltiplo de 4 podemos seguir esos dos patrones: ninguna en las esquinas y el resto por igual en cada pared, o 1 en cada esquina y el resto igual en cada pared, ya que paredes y esquinas son múltiplos de 4, y la suma de múltiplos de 4 también es múltiplo de 4.

0-n-0-n-0-n-0-n = 4 n

1-n-1-n-1-n-1-n = 4n + 4 = 4 (n+1), que también es múltiplo de 4

Nota: la secuencia es 1ª esquina-1ªpared-2ªesquina-2ªpared-3ªesquina-3ªpared-4ªesquina-4ªpared y se completa la vuelta a la habitación

Vamos a colocar ahora 10 lámparas (que vale también para nº lámparas 4n+2). Tenemos que prescindir de 2 lámparas a partir del último modelo visto. Luego quitamos dos lámparas de esquinas no contiguas, luego repartimos las 8 restantes entre las cuatro paredes, a dos por pared. Luego el modelo a seguir sería

1-2-0-2-1-2-0-2, saliendo de esa manera

1-n-0-n-1-n-0-n = 4n +2

Vamos a colocar ahora 11 lámparas o múltiplos de cuatro más 3, 4n+3

Está claro que tenemos que colocar 1 lámpara en 1 esquina y distribuir las 10 restantes de forma que haya un número igual. A las paredes que comparten esquina sin lámpara habrá que añadirles 1 lámpara más en la pared para equilibrar en número con las otras paredes que tienen una lámpara en la esquina. El esquema sería:

1-2-0-3-0-3-0-2, en general sería 1-n-0-(n+1)-0-(n+1)-0-n = 4n +3, saliendo n+1 lámparas por pared

Vamos por último a colocar 13 lámparas, o 4n+1 lámparas. Ahora colocamos 1 lámpara en 3 esquinas y dejamos la última esquina sin lámpara. El esquema sería 1-2-1-3-0-3-1-2, dando un total de 4 lámparas por pared. En general sería 1-n-1-(n+1)-0-(n+1)-1-n = 4n +5 = 4(n+1)+1= 4n'+1, dando un total de n+2 lámparas por pared. Uff, lo que cuesta escribir en ordenador sin dibujos.

Creo que ha estado más difícil las pruebas de nivel 12-14, que las de 14-16. Dejo avisado esto para que seleccionen problemas con los conocimientos que se adquieren en cada curso, ya que tienen además más ventaja los alumnos de 2ºESO con respecto de los de 1º, y los de 4º con respecto de los de 3º.

Espero que os haya salido así, y si no, el año que viene otra vez. Aunque también es verdad que yo me puedo haber equivocado. Como siempre cualquier comentario o incidencia u opinión, ya sabeis, me enviais un comentario en esta entrada. Mañana intentaré publicar las fotos, y quiero pediros permiso para que me dejeis publicarlas con vuestras caras y no tenga que tachar las caras de los asistentes con círculos negros o con tomates.