PROBLEMAS SEMIFINAL XX OLIMPIADA MATEMÁTICA Y SUS SOLUCIONES

Semifinal. Nivel 12-14.
Problema 1: Sabiendo que el cuadrado tiene de lado 1 m calcula el área sombreada.

(No puedo dibujarlo)

Es un sector circular de 45º, cuyo radio es raíz de 2, al que le quitamos medio cuadrado de lado 1 metro y le sumamos el área de un cuadrado de lado 1 metro menos el área de un cuarto de círculo de radio 1 metro. El sector circular de 45º es la octava parte de un círculo de radio raíz de 2, luego su área es pi·raíz de dos al cuadrado entre 8 = pi·2 /8 = pi/4. Un cuarto de círculo de radio 1 es pi·1 al cuadrado entre 4 = pi/4

Área sombreada = Sector circular - 1/2 cuadrado + 1 cuadrado - círculo/4 =
pi/4 - 1/2 + 1 - pi/4 = 1 - 1/2 = 1/2

Solución: el área sombreada es 1/2 metros cuadrados

Fase 12-14. Problema 3

Toma un número cualquiera de 3 cifras, escribe el número ordenando sus cifras de mayor a menor, escribe otro número ordenando las mismas cifras de menor a mayor, resta ambos números.
¿Qué propiedades tienen las restas obtenidas?

Solución: Las restas son múltiplos de 99, independientemente de las cifras elegidas,
Sean a, b y c las tres cifras elegidas, pueden ser iguales o no, pero en ese orden van de mayor a menor. Luego abc = a·100 + b·10 + c. El número invertidas sus cifras sería cba = 100·c + 10·b +a.
Si restamos ambas expresiones abc - cba = 100a + 10b + c - 100c - 10b -a = 100(a-c) + (c-a) = 100(a-c) - (a-c) = 99·(a-c). Como a-c es entero y a es mayor o igual que c, entonces obtenemos números naturales, múltiplos todos de 99, todos ya que en caso de que a,b,c fueran iguales obtendríamos en la resta 0, y ya sabemos que cero es múltiplo de cualquier número, incluido 99.

Otras propiedades:
Sus divisores son: 3, 9, 11, 33, 99, ya que son divisores del factor 99.