Este blog ha sido creado para facilitar la comunicación entre toda la comunidad educativa del I.E.S.O. Nº2 de Aguas Nuevas (Albacete) referido principalmente al área o materia de Matemáticas. Ahora también para uso y provecho de los alumnos del Centro de Adultos de Albacete
Año 412 dC, Alejandría sufre una revolución social. Los cristianos toman el poder de la ciudad. Peonio, el almirante de la flota alejandrina, a su vuelta del Mar Negro decide intervenir y devolver Alejandría a los griegos. Peonio siempre dispone sus flotas de naves en cuadrados (12x12, 7x7, etc... por poner ejemplos) pues es la manera griega favorita de atacar al enemigo (se llama formación en falange). Decidió en un primer ataque llevar dos flotas (no necesariamente iguales), pero la defensa cristiana fue feroz y sólo sobrevivió la última fila de cada flota. Juntó el resto de cada flota y decidió reorganizarlas en dos flotas para volver a atacar. De nuevo volvió a sufrir bajas en sus naves y sólo sobrevivió la última fila de cada flota. Recontó las naves y vio con estupor que sólo quedaron 28 de la inmensa flota que trajo. Tras este fracaso Peonio regresó a Constantinopla para informar al emperador de que Alejandría quedó en manos cristianas para siempre; Hipatia no tardó mucho en sufrir su cruel destino, como el de muchos griegos,... ¿pero podrías hallar cuántos barcos perdió Peonio en la cruenta batalla?
PD: Este es el último problema con Hipatia y Alejandría como protagonistas. Todos son problemas inventados y ambientados en aquella época. Eso quiere decir que no se basan en hechos reales aunque tengan visos de realidad. No busqueis en INTERNET ninguna toma de Alejandría por los griegos, nunca existió, pero espero que os hayan gustado los problemas del mes. Cualquier sugerencia para próximas ediciones, como siempre os pido, en los comentarios a esta entrada.
Claramente se da uno cuenta que si suma los porcentajes se sobrepasa de 100%, esto ocurre porque algunos porcentajes están incluidos en otros porcentajes en categorías más generales. Ejemplo: los que copian en tres idiomas están incluidos en los que copian dos idiomas y éstos últimos lo están en los que copian un idioma. Luego habrá que descontarlos desde lo más específico hasta las categorías más generales y luego mirar qué porcentaje suman todas las categorías.
25% - 10% = 15%dominan sólo latín copto
30% - 10% = 20% dominan sólo griego-copto
35% - 10% = 25% dominan sólo griego-latín
Ahora tenemos que hallar los que solo dominan un idioma, quitando los porcentajes de los que dominan ese idioma en las categorías anteriores.
Si ahora sumamos todos los porcentajes desglosados de cada categoría veremos que no supera el 100%. ---> 10+15+20+25+20+0+5 = 95%. Luego hay 100 -95 = 5% que no están en ninguna categoría, porque no copian en ninguno de los idiomas anteriores. Luego 5% de 200 = 10, entonces hay 10 copistas que no copian ni en griego, ni en latín, ni en copto.
Felicidades Enrique.
las cifras del 2009 lo construyen mediante un producto y una suma, porque 2009 = 200·9 + 200 +9. Parece una peculiaridad de 2009 pero lo cumplen todos los números terminados en 9 sin importar el número de cifras. Por ejemplo: 189 = 18·9 + 18+9. ¿Podrías demostrarlo para los números de cuatro cifras?
Solución: tenemos el número acabado en 9 de cuatro cifras abc9, se puede descomponer como abc0 +9 = abc·10 + 9 = abc·(9+1) +9 = abc·9 + abc + 9, descomponiendo 10 en dos sumas y aplicando la propiedad distributiva.
Problema 1
Suponiendo un hexágono regular, calcula la razón entre el área sombreada y el área del hexágono ¿podrías calcular la razón entre el área sombreada y el área del círculo?
Solución: Area del hexágono de lado a = 6a·apotema/2 = 3a·apotema= 3√3 · a2 /2 La apotema aplicando teorema de Pitágoras es √3 · a /2
El cuadrilátero inscrito en la circunferencia de radio a (ya que en hexágono regular coinciden lado del hexágono con radio de la circunferencia), se puede descomponer como 2 triángulos cuya base es el radio a y altura apotema del hexágono, luego su área es 2a· apotema /2 = a· apotema La razón entre área del cuadrilátero y el área del hexágono es a·apotema / 3a·apotema = 1/3 = 0'33333....
La razón entre el área del cuadrilátero y el área del círculo es
√3/2 · a2 / π·a2= √3 / 2π = 0'2756....
Problema 2
¿Cómo colocar 12 lámparas en cuatro paredes de forma que al contar las lámparas en cada pared salga un mismo número de lámparas? Se puede colocar 1 lámpara máximo en las esquinas, pero a la hora de contar lámparas por pared, estas lámparas pertenecen a ambas paredes. Hacer lo mismo con 10 lámparas, 11 lámparas, 13 lámparas, para n lámparas y cuántas se colocarían en cada pared.
Solución: Una primera solución para las 12 lámparas sería colocar 3 en cada pared y ninguna en las esquinas, así tendríamos 3 lámparas por pared. Si movemos una lámpara de cada pared a la esquina que tiene a su izquierda o derecha tendríamos otra solución 1-2-1-2-1-2-1-2, sólo que ahora contaríamos 4 lámparas por pared.
Para un número de lámparas múltiplo de 4 podemos seguir esos dos patrones: ninguna en las esquinas y el resto por igual en cada pared, o 1 en cada esquina y el resto igual en cada pared, ya que paredes y esquinas son múltiplos de 4, y la suma de múltiplos de 4 también es múltiplo de 4.
0-n-0-n-0-n-0-n = 4 n
1-n-1-n-1-n-1-n = 4n + 4 = 4 (n+1), que también es múltiplo de 4
Nota: la secuencia es 1ª esquina-1ªpared-2ªesquina-2ªpared-3ªesquina-3ªpared-4ªesquina-4ªpared y se completa la vuelta a la habitación
Vamos a colocar ahora 10 lámparas (que vale también para nº lámparas 4n+2). Tenemos que prescindir de 2 lámparas a partir del último modelo visto. Luego quitamos dos lámparas de esquinas no contiguas, luego repartimos las 8 restantes entre las cuatro paredes, a dos por pared. Luego el modelo a seguir sería
1-2-0-2-1-2-0-2, saliendo de esa manera
1-n-0-n-1-n-0-n = 4n +2
Vamos a colocar ahora 11 lámparas o múltiplos de cuatro más 3, 4n+3
Está claro que tenemos que colocar 1 lámpara en 1 esquina y distribuir las 10 restantes de forma que haya un número igual. A las paredes que comparten esquina sin lámpara habrá que añadirles 1 lámpara más en la pared para equilibrar en número con las otras paredes que tienen una lámpara en la esquina. El esquema sería:
1-2-0-3-0-3-0-2, en general sería 1-n-0-(n+1)-0-(n+1)-0-n = 4n +3, saliendo n+1 lámparas por pared
Vamos por último a colocar 13 lámparas, o 4n+1 lámparas. Ahora colocamos 1 lámpara en 3 esquinas y dejamos la última esquina sin lámpara. El esquema sería 1-2-1-3-0-3-1-2, dando un total de 4 lámparas por pared. En general sería 1-n-1-(n+1)-0-(n+1)-1-n = 4n +5 = 4(n+1)+1= 4n'+1, dando un total de n+2 lámparas por pared. Uff, lo que cuesta escribir en ordenador sin dibujos.
Creo que ha estado más difícil las pruebas de nivel 12-14, que las de 14-16. Dejo avisado esto para que seleccionen problemas con los conocimientos que se adquieren en cada curso, ya que tienen además más ventaja los alumnos de 2ºESO con respecto de los de 1º, y los de 4º con respecto de los de 3º.
Espero que os haya salido así, y si no, el año que viene otra vez. Aunque también es verdad que yo me puedo haber equivocado. Como siempre cualquier comentario o incidencia u opinión, ya sabeis, me enviais un comentario en esta entrada. Mañana intentaré publicar las fotos, y quiero pediros permiso para que me dejeis publicarlas con vuestras caras y no tenga que tachar las caras de los asistentes con círculos negros o con tomates.
Semifinal. Nivel 12-14.
Problema 1: Sabiendo que el cuadrado tiene de lado 1 m calcula el área sombreada.
(No puedo dibujarlo)
Es un sector circular de 45º, cuyo radio es raíz de 2, al que le quitamos medio cuadrado de lado 1 metro y le sumamos el área de un cuadrado de lado 1 metro menos el área de un cuarto de círculo de radio 1 metro. El sector circular de 45º es la octava parte de un círculo de radio raíz de 2, luego su área es pi·raíz de dos al cuadrado entre 8 = pi·2 /8 = pi/4. Un cuarto de círculo de radio 1 es pi·1 al cuadrado entre 4 = pi/4
Solución: el área sombreada es 1/2 metros cuadrados
Fase 12-14. Problema 3
Toma un número cualquiera de 3 cifras, escribe el número ordenando sus cifras de mayor a menor, escribe otro número ordenando las mismas cifras de menor a mayor, resta ambos números.
¿Qué propiedades tienen las restas obtenidas?
Solución: Las restas son múltiplos de 99, independientemente de las cifras elegidas,
Sean a, b y c las tres cifras elegidas, pueden ser iguales o no, pero en ese orden van de mayor a menor. Luego abc = a·100 + b·10 + c. El número invertidas sus cifras sería cba = 100·c + 10·b +a.
Si restamos ambas expresiones abc - cba = 100a + 10b + c - 100c - 10b -a = 100(a-c) + (c-a) = 100(a-c) - (a-c) = 99·(a-c). Como a-c es entero y a es mayor o igual que c, entonces obtenemos números naturales, múltiplos todos de 99, todos ya que en caso de que a,b,c fueran iguales obtendríamos en la resta 0, y ya sabemos que cero es múltiplo de cualquier número, incluido 99.
Otras propiedades: Sus divisores son: 3, 9, 11, 33, 99, ya que son divisores del factor 99.
El lunes me pasarán los problemas de la fase semifinal de este año. Los publicaré y los resolveré para que la gente pueda comprobar cómo le han salido. Felicidades a quien haya podido resolver los 3 problemas. Cualquier incidencia me la contais en los comentarios. También publicaré fotos del evento.
Os pongo un enlace al proyecto Descartes para que podais investigar y deducir las fórmulas para el cálculo de superficies de las figuras planas más importantes. Los de 2ºB irán a ordenadores a trabajar con este proyecto. Los que quieran en sus casas pueden hacerlo. En las semanas siguientes irán el resto de alumnos de 1º y 2º. Pinchad en el dibujo y os llevará directamente al enlace.
Y para los que ya se hayan aprendido las fórmulas un test contra tiempo, sobre cálculo rápido de superficies. En el siguiente dibujo:
A petición de Ignacio, voy a publicar unos cuantos problemas geométricos. Os puedo dar unas cuantas recomendaciones.
a) hacer el dibujo relacionado con el problema lo más exacto posible.
b) recordar el teorema de Pitágoras en problemas donde hay alturas, aristas, etc... o simplemente triángulos rectángulos.
c) recordar el teorema de Tales o sus propiedades derivadas. Recordar las propiedades de la semejanza de figuras y las propiedades de las proporciones.
d) recordar las fórmulas más importantes de áreas y volúmenes de figuras geométricas.
e) muchas veces hay que plantear ecuaciones de segundo grado. Repasar la resolución de ecuaciones.
EL BAMBÚ.
Un bambú de 32 codos de altura se quebró por un fuerte viento. La punta del bambú tocó el suelo a 16 codos de distancia del pie del bambú. Dime, pequeña matemática, ¿a qué altura se quebró el bambú?
EL LOTO.
En un lago había un gran número de gansos rojos y grullas. Un loto sobresalía de la superficie del agua una altura de medio codo y una brisa susurrante lo fue inclinando hasta que su punta se hundió a dos codos de distancia de donde emergía. Oh, matemática, dime rápidamente la profundidad del lago.
FIGURAS IMPOSIBLES.
Si un idiota dice que hay una cuadrilátero de lados 2, 6, 3 y 12, o un triángulo con lados 3, 6 y 9, explícale por qué no existen.
VOLÚMENES DE POLIEDROS ATÍPICOS.
Hallar el volumen que tiene un octaedro de 10 cm de arista
Hallar el volumen de un cuboctaedro de 10 cm de arista.
Nota: un cuboctaedro es un cubo cuyos vértices (tetraedros con ángulos de 90º) han sido cortados a la mitad de la arista del cubo original. Ver figura adjunta.
Por fin, este viernes será la fase semifinal de las XX Olimpiadas Matemáticas. Id preparando los elegidos vuestros lápices, compases y calculadoras para el viernes 24 de abril de 2009 a las 10:00 h en el Campus Universitario de Albacete. Tendreis que resolver 4 problemas de diversa índole. Suerte a todos los participantes y en especial a los de nuestro instituto. A por la final....
Pues sí, hemos conseguido exponer un proyecto sobre confección de poliedros con materiales de reciclaje. Seguimos mañana haciendo más actividades. Los alumnos del instituto vendrán a ver la Feria mañana a las 12:00 h. Allí estaremos todos. Espero que lo paseis bien en la Feria. En cuanto tengamos fotos las publicaremos en el blog. Feliz Día de la Ciencia. Para los rezagados o que no se han enterado, la III FERIA DE LA CIENCIA estará abierta también mañana día 17 de abril, hasta las 19:00 h. Lugar: Palacio de Exposiciones del IFAB, antiguo EXPOVICAMAN, en la carretera de Madrid. Os esperamos.
El equipoedro del instituto delante del stand dispuestos a sacar tajada del cartón con que se hicieron los poliedros.
Los OBREROEDROS diseñando nuevas formas modulares. Cuánta cinta de carrocero habremos gastado
En este video podréis sorprenderos y sorprender a la gente demostrando que 1 no es igual a 1 sino a 2. Todo truco tiene su solución. Espero que alguien me diga cuál es el truco aquí. Como siempre en los comentarios.
Os pongo un nuevo problema para la vuelta de vacaciones. No es difícil pero hay que tener en cuenta todas las posibilidades.
¿De cuántas formas podemos cambiar un billete de 500 €, usando sólo billetes de euros? Si es posible decir todas las formas
Los eurobilletes son: 500, 200, 100, 50, 20, 10, 5 €
Acabo de regresar de mi viaje a París. Es tan bonito... Como también he visitado Eurodisney con mis sobrinetes, jejeje, hemos tocado las orejas de un ratón, pero no de Mickey Mouse, sino de Remy, el de Ratatouille. Os dejo este video que resume nuestra impresión de París. Es la canción principal de la peli, va en francés con subtítulos. Se la dedico a todos mis alumnos, para practicar el idioma francés. Luego os pondré algunas fotos, cuando revelemos los 3 carretes... Disfrutad de las vacances, mon amies...
Lo dicho, espero que paseis unas felices y divertidas vacaciones. Os las mereceis. Luego me contais qué vais a hacer estos días. La vuelta será el día 14 de abril, martes. Por otra parte contaros que tenemos día para ir a la exposición Vive la Ciencia en Albacete. Será el día 17 de abril, viernes, de 12.00 h a 14.00 h. Espero que tengais todos las autorizaciones de vuestros padres. No os la podeis perder.
Por último felicitar a Enrique ya que ha resuelto el problema del mes de abril, el de los copistas, TODO UN RECORD, menos de 3 días.
Lo dicho otra vez, felices vacaciones y os quiero de vuelta A TODOS.
Os dejo este video del ingenio sobre cómo los ingenieros se las han arreglado para construir pirámides y cúpulas de hormigón en menos de un día. Atrás quedaron los años en que había que hacer muchos cálculos y perder mucho tiempo y dinero en andamiajes peligrosos. La solución...
inflar globos, echa un vistazo. Felices vacaciones a todos. Gracias por mirar mi blog, ya vamos a por las 10000 visitas.
Para estas vacaciones os propongo construiros con papel el famoso dragón de Gardner, es curioso porque si te mueves parece que el dragón te sigue con la mirada. Mañana intentaré hacer copias de este recortable para que podais pintarlo y construirlo en clase. De todos modos os dejo la dirección en Internet donde podreis descargar este recortable: http://www.brunopinheiro.com.br/files/dragons.pdf
o pinchad en la imagen del mismo dragón.
Os dejo también el video donde podreis comprobar lo que os digo.
Ah, y el anillo que se estrecha o ensancha al girarlo, qué curioso.
SURREALISMO: Movimiento literario y artístico surgido en París a principios del siglo XX, como respuesta al excesivo racionalismo en el arte.
Os propongo un juego sobre inventar palabras de... "asignaturas absurdas" que se podrían impartir en la escuela. Ya sé que muchos pensais que las mismas asignaturas que dais en la escuela son absurdas, en eso no me meto, pero están establecidas y tienen una coherencia lógica. Teneis que escribir palabras de asignaturas inventadas que parezcan verdaderas, acompañadas de una explicación con una falsa coherencia que aclare en qué consistirían.
Ejemplo: RELIMÁTICAS:Matemáticas aplicadas a las Religiones. Consistiría esta asignatura en la valoración numérica consecutiva y poliédrica de la oración a la virgen María elevada al cuadrado de los diez mandamientos, y su posterior aplicación al teorema del padrenuestro; donde se confirmaría que la comunión de la mediatriz de la santísima trinidad está siempre por encima de la media de la apotema circular de la vida de Cristo.
Me lo acabo de inventar en un momento. No digo nada con sentido pero queda bien porque las oraciones están bien construídas. Anímate, pongo un premio para la más ingeniosa y mejor explicada. Con todas ellas haremos el plan de estudios más absurdo en el mundo al revés.
LAS PRUEBAS LIBRES DE SEPTIEMBRE
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Hola a todos, os recuerdo a todos los alumnos matriculados en las pruebas
libres de septiembre que son el día 5 de septiembre. Empezarán a las 9:00h
con el...
Tras reflexionar los resultados de los alumnos en matemáticas y en espera de realizar las pruebas de nivel de matemáticas, ¿crees que existe matematicafobia (odio o aversión a las matemáticas) en general entre los estudiantes de las escuelas?
Año 412 dC, Alejandría sufre una revolución social. Los cristianos toman el poder de la ciudad. Peonio, el almirante de la flota alejandrina, a su vuelta del Mar Negro decide intervenir y devolver Alejandría a los griegos. Peonio siempre dispone sus flotas de naves en cuadrados (12x12, 7x7, etc... por poner ejemplos) pues es la manera griega favorita de atacar al enemigo (se llama formación en falange). Decidió en un primer ataque llevar dos flotas (no necesariamente iguales), pero la defensa cristiana fue feroz y sólo sobrevivió la última fila de cada flota. Juntó el resto de cada flota y decidió reorganizarlas en dos flotas para volver a atacar. De nuevo volvió a sufrir bajas en sus naves y sólo sobrevivió la última fila de cada flota. Recontó las naves y vio con estupor que sólo quedaron 28 de la inmensa flota que trajo. Tras este fracaso Peonio regresó a Constantinopla para informar al emperador de que Alejandría quedó en manos cristianas para siempre; Hipatia no tardó mucho en sufrir su cruel destino, como el de muchos griegos,... ¿pero podrías hallar cuántos barcos perdió Peonio en la cruenta batalla?
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