VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

Os dejo con estos videos sobre cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos, tanto poliedros como cuerpos redondos. Son como lo he explicado en clase pero de una forma más tangible, llenando los cuerpos con arroz...

SUPERFICIE Y VOLUMEN DE UNA ESFERA

Como hemos dicho en clase, la superficie de una esfera es 4 veces la superficie del círculo máximo que se puede conseguir de esa esfera, es decir, 4·pi·r^2.
El volumen de una esfera es 4/3 · pi· r^3. Si conseguimos demostrar una de las dos propiedades, la otra queda después demostrada.
Tenemos que mirar hacia atrás, época de Arquímedes, que fue el primero que lo demostró usando todos los conocimientos que vosotros teneis (Teorema de Pitágoras, cuerpos geométricos redondos, etc...) sin tener que recurrir a otros procedimientos posteriores que requieren otras matemáticas superiores (análisis, derivadas, integrales, etc...)
Arquímedes cogió una semiesfera, un cono y un cilindro, los tres con la misma base (círculo máximo de la semiesfera) y con la misma altura (el radio máximo). Si cortaba a una misma altura por un plano paralelo a las bases, podía ver que la superficie del círculo de la semiesfera + superficie del círculo del cono = superficie del círculo del cilindro. A estas superficies les llamó secciones de cada cuerpo geométrico.
Sesfera + Scono = Scilindro

En la sección de la esfera se cumple que superficie círculo pi·(R²-d²), usando el teorema de Pitágoras. En la sección del cono se cumple que la superficie del círculo del cono a una distancia d, es pi· d² , ya que coincide el radio con la altura a que se corta el cono. Si sumamos ambos círculos obtenemos pi· (R² – d² )+pi·d²= pi· R² , que es la superficie de la sección del cilindro. Y esa propiedad ocurre para cualquier distancia a la que cortemos. Si multiplicamos por la altura final de cada uno, que es R, obtenemos Volumen semiesfera + Volumen cono = Volumen cilindro, es decir, Vsemiesfera = Vcilindro - Vcono, estos últimos conocidos conocidas sus dimensiones, pi·R² ·R - pi·R² ·R / 3 = πR³ - πR³ / 3 = 2πR³/ 3 .
Entonces, si media esfera es 2πR³/ 3, una esfera es el doble de volumen, es decir 2·2πR³/ 3 = 4πR³/ 3.


Ahora que sabemos el volumen de la esfera podemos averiguar la superficie de una esfera. Si juntáramos un montón de pirámides de base pequeña, casi puntual, de una misma altura para hacer un ramillete, obtendríamos algo así como una aproximación a la esfera a base de pirámides unidas en un punto común (el centro de la esfera), y cuya altura sería el radio de la esfera que estamos formando. La suma de volúmenes de pirámides de misma altura es igual 1/3 ·h· (suma de la superficies de las bases); en este ramillete el volumen total es el de la esfera, 4πR³/ 3, la altura de la pirámide es R, y la superficie de todas las bases de las pirámides es la superficie de la esfera que lo forma.
Por tanto, 1/3· R· Sesfera = Volumen esfera = 4πR³/ 3. Dividiendo la ecuación por 1/3 y por R, obtenemos que Sesfera = 4πR²

PIRÁMIDE: LA TERCERA PARTE DE UN PRISMA

Como hemos dicho en clase, el volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma con misma base y altura que la pirámide. Para demostrarlo a mis alumnos de 2ºESO,...
a) cogemos un prisma y una pirámide con misma base y misma altura, y podemos ver que llenamos con agua 3 pirámides y completan el volumen del prisma. Siempre hay un pequeño error por la imprecisión de las construcciones geométricas y porque no enrasamos bien al llenar la pirámide o porque perdemos algo de líquido en los trasvases de agua. Pero aproximadamente coincide. Siempre hay más de un alumno que no termina de convencerse...
b) pinchad aquí y podreis ver cómo un cubo se puede partir en tres pirámides exactamente iguales con misma base y misma altura. Por tanto 3·Volumen pirámide = Volumen cubo
c) mirad este cubo, trazando sus cuatro diagonales en el espacio, se divide en 6 pirámides con misma base que el cubo y altura la mitad de la arista del cubo; podemos decir que el cubo es el volumen de 2 cajas o prismas cuadrados con misma base y altura la mitad de la arista del cubo, que es la altura de las pirámides. Por tanto, 6·Volumen pirámide = Volumen cubo = 2·Volumen caja o prisma. Es decir,

3·Volumen pirámide = Volumen prisma.

Por tanto, el volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma con las mismas dimensiones.

Haciendo una analogía o similitud entre prisma y cilindro,porque cilindro es el cuerpo de un prisma cuya base tiene muuuuuchos lados, infinitos, podemos ver que las fórmulas de un prisma se pueden aplicar a un cilindro. Basta con cambiar Sbase por pi·r^2 y Slateral = perímetro base ·h, por longitud circunferencia·h = 2·pi·r·h.
Lo mismo sucede con el cono y pirámide, que tienen fórmulas muy parecidas....

UNA INAUGURACIÓN Y...

Pues sí, como podeis ver el día 26 de junio terminamos de montar en la entrada del instituto el columnaedro. Quisiera dar las gracias a toda la gente que ha ayudado a sacar este proyecto: alumn@s de 1ºA, 2ºA y 2ºB.
Para los foráneos deciros que el columnaedro (palabra inexistente) es una columna hecha de cartón de embalaje y compuesta por prismas y antiprismas apilados de base octogonal. Se ha pintado y decorado de forma que se puedan ver distintas figuras geométricas. Hicimos una plaquita conmemorativa y su traducción francesa (que para eso estamos en Sección Europea de Francés).

Lamento que el día que recogisteis las notas no pudiera estar terminado, pero ya veiais lo que se montaba... La utilidad del columnaedro la poneis vosotros (creo que va a ser un expositor de fotos, trabajos, notas, mensajes de amor, de amistad, etc...).

Quisiera mencionar a dos alumnas que me ayudaron muchísimo a pintarlo:

Eva María y DULCE :-)

Gracias, gracias, gracias. Creo que el esfuerzo mereció la pena. Es mi/nuestro pequeño legado para la escuela.
Espero y os animo a que hagais otros en el futuro. Vosotros ya sabeis cómo se hacen.

LA ESTRELLA DE OCHO PUNTAS

Ya conoceis algunas estrellas famosas, la de cinco puntas o pitagórica, la de seis puntas o del rey David, y ahora toca el turno a la estrella tartésica (algunos la llaman estrella de Salomón). Calcula el área de esta estrella de Tartessos, polígono regular estrellado de 8 puntas, que está formada por 2 cuadrados girados 45º uno respecto del otro, de 1 m de lado.

PRACTICANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Os mando a la página del proyecto Descartes para que practiqueis el teorema de Pitágoras. En realidad basta con poner las medidas de dos lados y el programa Java os devuelve la medida del tercer lado. Debeis tener buen pulso si teneis que medir exactamente la hipotenusa, pero también podéis calcular primero las medidas de los catetos y luego comprobar que sale la medida de la hipotenusa. En cualquier caso pinchad en el dibujo siguiente y os redireccionará a la página en cuestión.

EL VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE

Como hemos dicho en clase, el volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma con misma base y altura que la pirámide. Para demostrarlo a mis alumnos de 2ºESO,...
a) cogemos un prisma y una pirámide con misma base y misma altura, y podemos ver que llenamos con agua 3 pirámides y completan el volumen del prisma. Siempre hay un pequeño error por la imprecisión de las construcciones geométricas y porque no enrasamos bien al llenar la pirámide o porque perdemos algo de líquido en los trasvases de agua. Pero aproximadamente coincide. Siempre hay más de un alumno que no termina de convencerse...
b) pinchad aquí y podreis ver cómo un cubo se puede partir en tres pirámides exactamente iguales con misma base y misma altura. Por tanto 3·Volumen pirámide = Volumen cubo
c) mirad este cubo, trazando sus cuatro diagonales en el espacio, se divide en 6 pirámides con misma base que el cubo y altura la mitad de la arista del cubo; podemos decir que el cubo es el volumen de 2 cajas o prismas cuadrados con misma base y altura la mitad de la arista del cubo, que es la altura de las pirámides. Por tanto, 6·Volumen pirámide = Volumen cubo = 2·Volumen caja o prisma. Es decir,

3·Volumen pirámide = Volumen prisma.

Por tanto, el volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma con las mismas dimensiones.

PENÚLTIMO PROBLEMA

Nunca se puede decir que habrá una última vez, digamos siempre una penúltima. Así que aquí va un penúltimo problema.

LA HOJA DE PAPEL.

Coge una hoja de papel de 30 x 21 cm. Enróllala por el lado mayor de manera que formes un cilindro sin tapas. Coge otra hoja de papel igual y enróllala por el lado menor de la hoja y construye otro cilindro sin tapas, éste último, obviamente más bajo. Si te fijas, la cara lateral de ambos cilindros es la misma pero.... ¿dónde habrá más volumen, en el primer cilindro o en el segundo? ¿En qué porcentaje es mayor el volumen el uno con respecto del otro?

TRABAJANDO LAS SUPERFICIES DE FIGURAS PLANAS

Os pongo un enlace al proyecto Descartes para que podais investigar y deducir las fórmulas para el cálculo de superficies de las figuras planas más importantes. Los de 2ºB irán a ordenadores a trabajar con este proyecto. Los que quieran en sus casas pueden hacerlo. En las semanas siguientes irán el resto de alumnos de 1º y 2º.
Pinchad en el dibujo y os llevará directamente al enlace.

Y para los que ya se hayan aprendido las fórmulas un test contra tiempo, sobre cálculo rápido de superficies. En el siguiente dibujo:

PREMIO AL MEJOR POLIEDRO

Hoy he entregado el premio prometido al mejor poliedro construido por mis alumnos. El poliedro ganador es un dodecaedro doble, realizado por José Luis, alumno de 2ºB. El premio es un precioso libro sobre poliedros (Escher y los calidociclos), que es un recortable de figuras poliédricas cuyas caras están decoradas con dibujos iguales que encajan entre sí. Es doblemente precioso, porque es un libro descatalogado, que no se va a editar en el futuro (espero que sí).
Otro día hablaremos de los dibujos llamados MOSAICOS, y del artista más famoso de mosaicos, ESCHER.

Felicidades, José Luis.

EL PLANO DE NUESTRO INSTITUTO

Los grupos 1ºA y 1º B van a realizar durante esta semana el plano del instituto. 1ºA ya ha tomado medidas, las pondremos en común, y realizaremos el plano a escala. 1ºB lo hará mañana. Una vez hecho el dibujo a escala haremos proyectos sobre qué pondríamos alrededor del mismo. Espero que salgan buenos proyectos...
Los pasos necesarios para hacer un plano son los siguientes:
1. hacer un croquis
2. tomar medidas de distancias y ángulos (en nuestro caso, todos son de 90º). Ambos pasos se pueden hacer a la par.
3. elegir la escala adecuada de forma que quepa todo el dibujo en nuestro papel.
4. cambiar las medidas reales a medidas a escala y dibujar el plano a escala.
3.

DIBUJAR POLÍGONOS REGULARES CON REGLA Y COMPÁS

Un alumn@ me ha pedido que le explique cómo hacer polígonos regulares con regla y compás:

TRIÁNGULO: dibujas una recta, marcas los extremos, abres un compás de extremo a extremo, trazas dos arcos de circunferencia (uno desde cada extremo), donde se corten está el 3º vértice del triángulo.
HEXÁGONO: dibujas una circunferencia con la medida del lado, y desde un punto cualquiera vas trazando arcos sobre la circunferencia hasta volver al punto inicial. Los cruces de los arcos con la circunferencia son los vértices del hexágono.
CUADRADO: dibujas una recta, marcas los extremos, trazas perpendiculares, tomas la medida del segmento con el compás y trazas arcos desde los extremos hasta que corten a las perpendiculares. Los cortes son los otros vértices del cuadrado.
PENTÁGONO: mira en la siguiente página, que lo explica paso a paso.
pentágono regular a partir de su lado

EXPOSICIÓN MULTIMEDIA DE LOS COFRES DE HIPATIA

A partir del día 9 todos los grupos irán a ver la exposición multimedia. Bien en clase, bien en la biblioteca, bien en el aula de informática. Así hasta final de trimestre. Eso no quiere decir que no demos clases de matemáticas. Espero que os guste.

DESARROLLOS DE POLIEDROS

Os subo el enlace a la página Web donde podréis sacar muchos de los desarrollos de los Poliedros de la Exposición. Están en formato PDF y se pueden imprimir. Empieza la cuenta atrás para realizar el poliedro más bonito. Habrá premio para el ganador...

Modelos Papel Poliedros.

EXPOSICIÓN DE POLIEDROS EN EL INSTITUTO

Hemos comenzado el ciclo de exposiciones en el instituto con ésta titulada "Los Cofres de Hipatia", dedicada a los poliedros convexos, la Biblioteca de Alejandría e Hipatia (mujer y matemática). Están invitados todos a verla. Del 1 al 19 de diciembre de 2008. Quizá se prorrogue una semana más a la vuelta de Navidades.