EL VOLUMEN Y LA SUPERFICIE DE UNA ESFERA

Como hemos dicho en clase, la superficie de una esfera es 4 veces la superficie del círculo máximo que se puede conseguir de esa esfera, es decir, 4·pi·r^2.
El volumen de una esfera es 4/3 · pi· r^3. Si conseguimos demostrar una de las dos propiedades, la otra queda después demostrada.
Tenemos que mirar hacia atrás, época de Arquímedes, que fue el primero que lo demostró usando todos los conocimientos que vosotros teneis (Teorema de Pitágoras, cuerpos geométricos redondos, etc...) sin tener que recurrir a otros procedimientos posteriores que requieren otras matemáticas superiores (análisis, derivadas, integrales, etc...)
Arquímedes cogió una semiesfera, un cono y un cilindro, los tres con la misma base (círculo máximo de la semiesfera) y con la misma altura (el radio máximo). Si cortaba a una misma altura por un plano paralelo a las bases, podía ver que la superficie del círculo de la semiesfera + superficie del círculo del cono = superficie del círculo del cilindro. A estas superficies les llamó secciones de cada cuerpo geométrico.
Sesfera + Scono = Scilindro

En la sección de la esfera se cumple que superficie círculo pi·(R²-d²), usando el teorema de Pitágoras. En la sección del cono se cumple que la superficie del círculo del cono a una distancia d, es pi· d² , ya que coincide el radio con la altura a que se corta el cono. Si sumamos ambos círculos obtenemos pi· (R² – d² )+pi·d²= pi· R² , que es la superficie de la sección del cilindro. Y esa propiedad ocurre para cualquier distancia a la que cortemos. Si multiplicamos por la altura final de cada uno, que es R, obtenemos Volumen semiesfera + Volumen cono = Volumen cilindro, es decir, Vsemiesfera = Vcilindro - Vcono, estos últimos conocidos conocidas sus dimensiones, pi·R² ·R - pi·R² ·R / 3 = πR³ - πR³ / 3 = 2πR³/ 3 .
Entonces, si media esfera es 2πR³/ 3, una esfera es el doble de volumen, es decir 2·2πR³/ 3 = 4πR³/ 3.


Ahora que sabemos el volumen de la esfera podemos averiguar la superficie de una esfera. Si juntáramos un montón de pirámides de base pequeña, casi puntual, de una misma altura para hacer un ramillete, obtendríamos algo así como una aproximación a la esfera a base de pirámides unidas en un punto común (el centro de la esfera), y cuya altura sería el radio de la esfera que estamos formando. La suma de volúmenes de pirámides de misma altura es igual 1/3 ·h· (suma de la superficies de las bases); en este ramillete el volumen total es el de la esfera, 4πR³/ 3, la altura de la pirámide es R, y la superficie de todas las bases de las pirámides es la superficie de la esfera que lo forma.
Por tanto, 1/3· R· Sesfera = Volumen esfera = 4πR³/ 3. Dividiendo la ecuación por 1/3 y por R, obtenemos que Sesfera = 4πR²

LA ESTRELLA DE OCHO PUNTAS

Ya conoceis algunas estrellas famosas, la de cinco puntas o pitagórica, la de seis puntas o del rey David, y ahora toca el turno a la estrella tartésica (algunos la llaman estrella de Salomón). Calcula el área de esta estrella de Tartessos, polígono regular estrellado de 8 puntas, que está formada por 2 cuadrados girados 45º uno respecto del otro, de 1 m de lado.

POR FIN, LAS DIEZMIL VISITAS

No me lo puedo creer, ya por las 10000 visitas y hace nada que celebramos las 1000 visitas. 10000 como la película que narra la vida del hombre en el año 10000 antes de Cristo, con el nacimiento de las primeras civilizaciones. 10000 como aquellos billetes azules de 10000 pesetas con la imagen de un príncipe de España, todavía un niño, 10000 como el grupo de pop, 10000 maniacs, 10000 y seguimos... Gracias a todos los que visitais este blog, tanto de la zona propia de nuestra escuela como del extranjero de la escuela. Es para mí un gran honor abriros el blog y que descubrais cosas de la vida y el mundo como me ocurre a mí. Os lo he dicho antes? no? Os quiero....

EL DÍA ESCOLAR DE LAS MATEMÁTICAS

Desde el año 2000 se celebra en España el Día Escolar de las Matemáticas el día 12 de mayo. Esta fecha conmemora el nacimiento de uno de los matemáticos españoles que más han trabajado por la divulgación y la enseñanza de las matemáticas, D. Pedro Puig Adam.

En 1958 redactó el Decálogo del Profesor de Matemáticas:


1. No adoptar una didáctica rígida, sino amoldarla en cada caso al alumno, observándole constantemente.
2. No olvidar el origen concreto de la Matemática, ni los procesos históricos de su evolución.
3. Presentar la Matemática como una unidad en relación con la vida natural y social.
4. Graduar cuidadosamente los planos de abstracción.
5. Enseñar guiando la actividad creadora y descubridora del alumno,
6. Estimular la actividad creadora, despertando el interés directo y funcional hacia el objeto de conocimiento.
7. Promover en todo lo posible la autocorrección.
8. Conseguir cierta maestría en las soluciones antes de automatizarlas.
9. Cuidar que la expresión del alumno sea traducción fiel de su pensamiento.
10. Procurar que todo alumno tenga éxito para evitar su desaliento.

Mañana 20 de mayo (aunque con 8 días de retraso) celebraremos el Día Escolar de las Matemáticas, desde la 3ª hora en adelante irán pasando los grupos por la Biblioteca para participar en la 1ª Feria de Ingenio, donde podrán poner a prueba el ingenio para resolver algún juego de los 22 que hay. A la misma hora otro grupo pasará por los pasillos a hacer una visita por la Exposición "Filatelia y Matemáticas". Como colofón a última hora recibiremos la visita de D. Juan Emilio García (del CPR de Villarrobledo) donde nos dará una interesante y amena conferencia sobre matemáticas (no os aburriréis, os lo aseguro).

PRACTICANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Os mando a la página del proyecto Descartes para que practiqueis el teorema de Pitágoras. En realidad basta con poner las medidas de dos lados y el programa Java os devuelve la medida del tercer lado. Debeis tener buen pulso si teneis que medir exactamente la hipotenusa, pero también podéis calcular primero las medidas de los catetos y luego comprobar que sale la medida de la hipotenusa. En cualquier caso pinchad en el dibujo siguiente y os redireccionará a la página en cuestión.

ESPAÑA Y EUROVISIÓN: UN DESENCUENTRO MÁS

No soy muy aficionado a los festivales horteras de Eurovisión, aunque son una buena prueba de la importancia de un país europeo con respecto del resto de Europa. El sábado se emitió otro festival de Eurovisión más, y a la hora de las votaciones, como siempre, de España no se acuerda nadie... El ganador fue Noruega, lo cual fue muy merecido: canción folk, canción poco hortera (para hortera ya estaban Grecia, Azerbaián y Turquía entre otras), fácil de cantar y con un niño mono y con desparpajo. La fórmula que en otros países funciona, en España no resulta, entonces por qué seguimos imitando al resto de países de anteriores ediciones. La chica Soraya no lo hizo nada mal, pero si hubiera sido chico y mono, seguro que recibiríamos más votos. Si al final todo es una relación de amistades vecinales... Propongo que España deje de participar en estas meriendas de negros para no hacer más el ridículo. Y no sólo España, también Alemania, Francia, Suecia,... Mientras tanto os dejo con la actuación del niño noruego, que os aseguro que será "flor de un año", como casi todos los ganadores,... y luego ¿quién se acuerda de esos cantantes? Ni siquiera me acuerdo ya de los países ganadores de otras ediciones del festival...

Os dejo las letras de la cancioncilla ganadora para que sepáis de qué va la historia que cantaba el niño...
Years ago when I was younger
I kinda’ liked a girl I knew.
She was mine, and we were sweethearts,
That was then, but then it’s true

I’m in love with a fairytale
Even though it hurts.
‘Cause I don’t care if I lose my mind;
I’m already cursed

Every day we started fighting,
Every night we fell in love.
No one else could make me sadder,
But no one else could lift me high above

I don’t know what I was doing
But suddenly we fell apart.
Nowadays I cannot find her.
But when I do we’ll get a brand new start

I’m in love with a fairytale
Even though it hurts.
Cause I don’t care if I lose my mind;
I’m already cursed

She’s a fairytale
Yeah
Even though it hurts.
Cause I don’t care if I lose my mind;
I’m already cursed


POSDATA: Esta semana irá a ordenadores el grupo 1ºA, y se examinan 2ºA y 2ºB. Iremos pensando también cuándo se examinan todos los grupos en las semanas sucesivas de GEOMETRÍA.

LA PELÍCULA DE ESTA PRIMAVERA: ÁNGELES Y DEMONIOS

Ayer fui al cine a ver la película "Ángeles y demonios", algo así como la segunda parte de "El Código Da Vinci". Me encantó, es la lucha entre la ciencia y la fe, en un ambiente plagado de iglesias romanas y muchos misterios, el final no me ha gustado mucho. La antimateria destruye las iglesias pero no las personas, vaya, qué casualidad. Y después del cataclismo la gente no huye, aplaude...
Propio de películas americanas...
De todos modos, os dejo un grupo de juegos relacionados con la película, aunque el concurso está cerrado, podréis resolver algunas situaciones. Yo he resuelto dos de momento: aire y fuego. Si tienes curiosidad pincha en la foto que te pongo a continuación de la película.

EL VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE

Como hemos dicho en clase, el volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma con misma base y altura que la pirámide. Para demostrarlo a mis alumnos de 2ºESO,...
a) cogemos un prisma y una pirámide con misma base y misma altura, y podemos ver que llenamos con agua 3 pirámides y completan el volumen del prisma. Siempre hay un pequeño error por la imprecisión de las construcciones geométricas y porque no enrasamos bien al llenar la pirámide o porque perdemos algo de líquido en los trasvases de agua. Pero aproximadamente coincide. Siempre hay más de un alumno que no termina de convencerse...
b) pinchad aquí y podreis ver cómo un cubo se puede partir en tres pirámides exactamente iguales con misma base y misma altura. Por tanto 3·Volumen pirámide = Volumen cubo
c) mirad este cubo, trazando sus cuatro diagonales en el espacio, se divide en 6 pirámides con misma base que el cubo y altura la mitad de la arista del cubo; podemos decir que el cubo es el volumen de 2 cajas o prismas cuadrados con misma base y altura la mitad de la arista del cubo, que es la altura de las pirámides. Por tanto, 6·Volumen pirámide = Volumen cubo = 2·Volumen caja o prisma. Es decir,

3·Volumen pirámide = Volumen prisma.

Por tanto, el volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma con las mismas dimensiones.

PENÚLTIMO PROBLEMA

Nunca se puede decir que habrá una última vez, digamos siempre una penúltima. Así que aquí va un penúltimo problema.

LA HOJA DE PAPEL.

Coge una hoja de papel de 30 x 21 cm. Enróllala por el lado mayor de manera que formes un cilindro sin tapas. Coge otra hoja de papel igual y enróllala por el lado menor de la hoja y construye otro cilindro sin tapas, éste último, obviamente más bajo. Si te fijas, la cara lateral de ambos cilindros es la misma pero.... ¿dónde habrá más volumen, en el primer cilindro o en el segundo? ¿En qué porcentaje es mayor el volumen el uno con respecto del otro?

MOMENTOS PARA EL RECUERDO: CIENCIA EN RUTA 2009, LOS PLANETAS

Como bien recordareis hace dos semanas vimos las estrellas... y los planetas y sus órbitas en la exposición " Ciencia en ruta", el planetario móvil en la Casa de la Cultura de Aguas Nuevas; luego terminamos dibujando la órbita de Marte y la de Plutón con mayor o menor arte. Tengo las pruebas... A CONTINUACIÓN
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MOMENTOS PARA EL RECUERDO. LA FERIA DE LA CIENCIA 2ª PARTE

Cuántos cacharros, qué raros y qué bonitos, y esto de aquí servirá para hacer volar la escuela... Cuántas cosas por descubrir...
Y qué ricos los crepes, y qué bonitos los planetas, y cómo volaban los cohetes, y....

MOMENTOS PARA EL RECUERDO. LA FERIA "VIVE LA CIENCIA" 2009

Otro momento muy divertido, a juzgar por las caras de los que salís en las fotos. Vamos a hacer dos entradas. Ésta, alrededor de nuestro stand, y la siguiente con el resto de stands. Qué gusto da veros meter el morrete en los escaparates. Y es que la curiosidad siempre rondará nuestras cabecitas....